Περί Λογικής

Στο gatti που ήταν η αφορμή να σκεφτώ
να γράψω κάτι για τη λογική

Μέχρι τώρα, όσα έχω γράψει στο blog μου, αφορούν στο κομμάτι της Καρδιάς και των Συναισθημάτων (μου). Για το άλλο μου κομμάτι, της Λογικής δεν έχω γράψει τίποτα. Κι αυτό έχει βέβαια μια …λογική εξήγηση!

Θυμάμαι σχεδόν από πάντα, όσον αφορούσε το λογικό μου μέρος, ότι ήταν στέρεο, με άμεση και εύκολη αντίληψη του εκάστοτε προβλήματος κι αυτό το θεωρούσα δεδομένο.
Παράλληλα θεωρούσα ότι όλοι –σχεδόν- οι άνθρωποι είχαν την ίδια ευχέρεια με μένα σ’ αυτόν τον τομέα, ήταν το ίδιο «έξυπνοι» με μένα, δεν (ήθελα να) διέφερα από αυτούς.

(Μου πήρε πραγματικά πάρα πολλά χρόνια για να αποδεχτώ ότι δεν ήταν έτσι τα πράγματα κι ότι αυτό δεν ήταν κακό, δεν γινόμουν δηλαδή υπερφίαλος και εγωιστής αποδεχόμενος το γεγονός ότι ήμουν πιο έξυπνος από τους περισσότερους που γνώριζα.)
Συνυπήρχαν ταυτόχρονα μέσα μου και ο πάσχων Συναισθηματικός μου κόσμος και ο εύρωστος και υγιής Λογικός.
Μαντέψτε ποιος επικρατούσε τις περισσότερες φορές μέσα μου…

Σκέφθηκα λοιπόν να γράψω κάτι που να αφορά σ’ αυτό το άλλο μου κομμάτι, το Λογικό. Αναρωτιόμουν πως μπορεί να φανεί η ομορφιά και η κομψότητα μιας λογικής διαδικασίας και η επαγωγική σκέψη χωρίς να αναφερθώ σε κάποιο μαθηματικό πρόβλημα που θα μπορούσε να αναδείξει όλα τα παραπάνω.
Παράλληλα ήθελα να είναι κάτι που είχα σκεφτεί και λύσει μόνος μου για να μπορώ να περιγράψω και τις λογικές διεργασίες που συμβαίνουν όταν προσπαθεί κανείς να προσεγγίσει ένα πρόβλημα.

Κατέληξα λοιπόν σε ένα πρόβλημα λογικής που είναι τα παρακάτω:

Δίνονται 10 τσουβάλια που το καθένα περιέχει ικανό αριθμό λιρών. Σε μερικά από αυτά τα τσουβάλια περιέχονται κανονικές λίρες που η κάθε μία ζυγίζει 10 gr ενώ στα υπόλοιπα τσουβάλια περιέχονται κάλπικες λίρες που η κάθε μία ζυγίζει 9 gr.
Έχουμε στην διάθεση μας μια ζυγαριά με ένα ζυγό που δείχνει το ακριβές βάρος του υπό ζύγιση πράγματος.
Πως μπορούμε –παίρνοντας από όποια τσουβάλια, όσες λίρες θέλουμε- με μία μόνο ζύγιση να βρούμε πόσα και ποια τσουβάλια είναι αυτά που περιέχουν κάλπικες λίρες;

Λύση
Λοιπόν, διαβάζουμε το πρόβλημα λέξη προς λέξη ... πάντα στα λογικά προβλήματα πρέπει να δίνεις έμφαση στην διατύπωση του προβλήματος.. και η παραμικρή λεπτομέρεια για να διατυπώνεται, σημαίνει πως κρύβει κάποια πληροφορία… «κάθε τσουβάλι περιέχει ΙΚΑΝΟ αριθμό λιρών», χμ τι σημαίνει αυτό; Μήπως ότι θα χρειαστεί για να λύσω το πρόβλημα να πάρω αρκετές λίρες από το κάθε ένα; Ας το έχω υπόψη μου.. 10 τσουβάλια λίρες…αν πάρω μία λίρα από το κάθε τσουβάλι και τις βάλω πάνω στη ζυγαριά θα μου δείξει μια τιμή.. αν αυτή είναι 100gr τότε έλυσα το πρόβλημα διότι μπορώ να συμπεράνω ότι και τα δέκα τσουβάλια περιέχουν κανονικές λίρες. Ωραία. Αν όμως η ζυγαριά δείξει 99gr τι γίνεται; Μπορώ να βγάλω το συμπέρασμα ότι μόνο ένα τσουβάλι περιέχει κάλπικες λίρες αλλά ποιο; Δεν μπορώ να το προσδιορίσω…άρα δεν βολεύει να πάρω από μία λίρα από κάθε ένα τσουβάλι. Θα πρέπει επομένως να πάρω διαφορετικό αριθμό λιρών από κάθε τσουβάλι…
Να το ξανασκεφτώ. Το πρόβλημα μου λέει ότι μερικά από τα τσουβάλια περιέχουν κάλπικες λίρες. Ας πούμε ότι έχω βρει την λύση. Έστω για παράδειγμα ότι τα τσουβάλια που περιέχουν κάλπικες λίρες είναι το τρίτο το τέταρτο και το έβδομο. Πως όμως προσδιορίζω ποιο τσουβάλι είναι τρίτο, τέταρτο , έβδομο κ.λ.;
Άρα πάω πίσω και λέω: Εγώ πρέπει να διατάξω τα τσουβάλια –αυθαίρετα- να τα βάλω δηλαδή σε μια σειρά το ένα δίπλα στο άλλο και να πω ότι το πρώτο από δεξιά είναι το 1ο τσουβάλι, το αμέσως αριστερά του είναι το 2ο τσουβάλι κ.λ. και το τελευταίο δεξιά είναι το 10ο τσουβάλι.
Πολύ ωραία., κάτι αρχίζει να γίνεται…Βρήκα μέχρι τώρα δύο σημαντικά πράγματα. Πρώτον ότι θα πρέπει να διατάξω σε μια σειρά τα τσουβάλια και να τα ονοματίσω και δεύτερο ότι θα πρέπει να πάρω διαφορετικό αριθμό λιρών από κάθε τσουβάλι για να μπορέσω με κάποιο τρόπο –που δεν έχω ανακαλύψει ακόμη- με ένα ζύγισμα, να βρώ πόσα και ποια τσουβάλια περιέχουν κάλπικες λίρες.

Πόσες όμως λίρες πρέπει να πάρω από κάθε τσουβάλι; Μια λογική υπόθεση θα ήταν να πάρω 1 λίρα από το 1ο, 2 λίρες από το 2ο και λοιπά μέχρι το δέκατο από το οποίο θα πάρω 10 λίρες.
Κάτσε όμως μια στιγμή… Τι έχω μάθει από τη ζωή; Αν προσπαθείς να λύσεις ένα πρόβλημα που σε δυσκολεύει τότε προσπάθησε να λύσεις πρώτα ένα ίδιας «ποιότητας» απλούστερο όμως πρόβλημα. Αυτό μπορεί να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα το αρχικό μας πρόβλημα.
Ωραία. Τι μπορώ να σκεφτώ εδώ λοιπόν. Χμ.. Μάλιστα. Θα μπορούσα να προσπαθήσω να λύσω το πρόβλημα με όσον το δυνατό λιγότερα τσουβάλια και μετά να δω αν η λύση που θα βρω μπορεί να εφαρμοστεί και στο αρχικό μου πρόβλημα.
Πόσα λοιπόν τσουβάλια μπορώ να πάρω το λιγότερο και να προσπαθήσω να βρώ μια λύση; 1; Όχι. 2; Όχι. 3; Ναι, γιατί έτσι έχω τις ελάχιστες από τις «πολλές» επιλογές που έχει το πρόβλημα.

Πολύ ωραία. Έχω λοιπόν τρία τσουβάλια που τα έχω βάλει στη σειρά και τα ονομάζω από δεξιά προς τα αριστερά 1ο , 2ο και 3ο.
Το πρόβλημα μου τώρα είναι να βρω πόσες λίρες πρέπει να πάρω από το κάθε ένα –που πρέπει σύμφωνα με όσα έχω σκεφτεί να μην είναι μία από το κάθε ένα, ούτε 1 από το 1ο, δύο από το 2ο και τρεις από το 3ο- αλλά να είναι σίγουρα διαφορετικός αριθμός από κάθε τσουβάλι.
Μάλιστα. Τώρα κολλήσαμε λίγο. Για να σκεφτούμε πάλι…ξέρουμε κανένα άλλο παρόμοιο πρόβλημα ή ένα πράγμα, μια εικόνα, οτιδήποτε τέλος πάντων που έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το πρόβλημα μας; Ποια είναι αυτά τα ζητούμενα χαρακτηριστικά; Πρώτα απ’ όλα να είναι μια σειρά από θέσεις διατεταγμένες –ας πούμε φωλιές- και κάθε φωλιά να έχει κανονικές ή κάλπικες λίρες ή αλλιώς να έχει κανονικές λίρες ή να μην έχει ή αλλιώς να έχει αυγά ή να μην έχει ή αλλιώς να έχει ένα αυγό ή να μην έχει.
Όπα! Νομίζω ότι εδώ κάναμε ένα σημαντικό βήμα! Θέλω να βρω κάτι σαν αυτό:
ΕΧΕΙ-ΔΕΝ ΕΧΕΙ-ΕΧΕΙ-ΕΧΕΙ-ΔΕΝ ΕΧΕΙ-ΕΧΕΙ-ΔΕΝ ΕΧΕΙ-ΔΕΝ ΕΧΕΙ- Κ.Λ.Π. που όμως αυτό μου φέρνει στο μυαλό το ΕΙΝΑΙ-ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ-ΕΙΝΑΙ-ΕΙΝΑΙ Κ.Λ.Π ή το ΥΠΑΡΧΕΙ-ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ-ΥΠΑΡΧΕΙ-ΥΠΑΡΧΕΙ Κ.Λ.Π κι έτσι εύκολα μου έρχεται στο νου κάτι πολύ κοινό που όλοι ξέρουμε! Τους αριθμούς!!!

Όπως ξέρουμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούμε είναι ΘΕΣΙΑΚΟ. Έχουμε δηλαδή 10 μόνο διαφορετικά σύμβολα τα 0,1,2,3,4,5,6,7,8 και 9 τα οποία γράφουμε το ένα δίπλα στο άλλο και εκφράζουμε ένα συγκεκριμένο ποσό. Τα ψηφία δηλαδή δεν έχουν πάντα την ίδια αξία αλλά ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗ ανάλογα με την θέση που είναι γραμμένα μέσα στον αριθμό. Για παράδειγμα στον αριθμό 525 το πρώτο και το τρίτο ψηφίο είναι το 5, τα οποία παρόλο που γράφονται «ίδια», 5 και 5, εν τούτοις έχουν τελείως διαφορετική αξία !! το πρώτο «αξίζει» πεντακόσιες μονάδες ενώ το δεύτερο «αξίζει» μόνο πέντε μονάδες, είναι δηλαδή εκατό φορές μεγαλύτερο λόγω του ότι κατέχει «καλύτερη» θέση στη σειρά που αποτελεί όλο τον αριθμό.
Νομίζω ότι κάναμε ένα σημαντικό βήμα για τη λύση του προβλήματος μας.
Χρειαζόμαστε λοιπόν ένα τριψήφιο αριθμό που να πληροί δύο προϋποθέσεις: 1) κάθε ψηφίο του να είναι διαφορετικό από τα άλλα και 2) ταυτόχρονα το κάθε ένα από αυτά να έχει την ιδιότητα να ΕΙΝΑΙ ή να ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ.
Το πρώτο αίτημα καλύπτεται για παράδειγμα από τον αριθμό 472. Το δεύτερο αίτημα όμως δεν καλύπτεται π.χ. από το πρώτο, το 4. Τι σημαίνει να είναι και να μην είναι το 4; Να σκεφτώ πιο απλά… Μήπως αντί για 4 αν έχω το 1 είναι καλύτερα; Τι θα σήμαινε το να ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ 1; Μα το 0 (μηδέν)! Άρα ένας τριψήφιος αριθμός της μορφής 111 ή 101 ή 110 η 001 ή 010 κ.λ. θα μου «έκανε» την δουλειά μου γιατί αν πάρουμε για παράδειγμα τον 101 τότε όλα τα ψηφία του είναι «διαφορετικά» -μην ξεχνάμε ότι το πρώτο 1 και το τρίτο έχουν διαφορετική αξία και ταυτόχρονα το «1» μου λέει ότι π.χ. το τσουβάλι στη συγκεκριμένη θέση ΕΧΕΙ κάλπικες λίρες ενώ αν ήταν 0 θα μου έλεγε ότι ΔΕΝ ΕΧΕΙ κάλπικες λίρες άρα ΕΧΕΙ κανονικές λίρες.

Ας ανακεφαλαιώσουμε. Πόσες λίρες πρέπει να πάρω από κάθε τσουβάλι; Από το πρώτο δεξιά θα πάρω 1 από το δεύτερο θα πάρω 10 και από το τρίτο θα πάρω 100. Θα έχω δηλαδή (100+10+1=)111 λίρες.
Για να δούμε τώρα τι γίνεται. Βάζω τις εκατόν έντεκα λίρες πάνω στη ζυγαριά.
1) Αν δείξει 1110 gr αυτό σημαίνει ότι και οι 111 λίρες είναι κανονικές (1110-1110=0gr=000).
2) Αν δείξει 1109 gr σημαίνει ότι το πρώτο από δεξιά τσουβάλι έχει κάλπικες λίρες (1110-1109=1gr=001).
3) Αν δείξει 1100 gr σημαίνει ότι το δεύτερο από δεξιά τσουβάλι έχει κάλπικες λίρες (1110-1100=10gr=010).
4) Αν δείξει 1099 gr σημαίνει ότι το πρώτο και το δεύτερο από δεξιά τσουβάλια έχουν κάλπικες λίρες (1110-1099=11gr=011).
5) Αν δείξει 1010 gr σημαίνει ότι το τρίτο από δεξιά τσουβάλι έχει κάλπικες λίρες (1110-1010=100gr=100).
6) Αν δείξει 1009 gr σημαίνει ότι το πρώτο και το τρίτο από δεξιά τσουβάλια έχουν κάλπικες λίρες (1110-1009=101gr=101).
7) Αν δείξει 1000 gr σημαίνει ότι το δεύτερο και το τρίτο από δεξιά τσουβάλια έχουν κάλπικες λίρες (1110-1000=110gr=110).
8) Αν δείξει 999 gr σημαίνει ότι το πρώτο, το δεύτερο και το τρίτο από δεξιά τσουβάλια έχουν κάλπικες λίρες (1110-999=111gr=111).

Άρα βρήκα μια λύση για τα 3 τσουβάλια που είναι η εξής: Παίρνω 1 λίρα από το πρώτο 10 λίρες από το δεύτερο και εκατό λίρες από το τρίτο, σύνολο 111 λίρες και τις τοποθετώ πάνω στην ζυγαριά. Βλέπω το βάρος που μου δείχνει και το αφαιρώ από τον αριθμό 1110 (που θα ήταν το συνολικό βάρος των λιρών αν ήταν όλες κανονικές). Το αποτέλεσμα που θα πάρω το γράφω σε μορφή τριψήφιου αριθμού συμπληρώνοντας με μηδενικά όπου χρειάζεται. Αν παραδείγματος χάριν η διαφορά είναι 10 gr γράφω τον αριθμό ως 010. Έτσι γνωρίζω ότι αν μία θέση καταλαμβάνεται από το μηδέν τότε το αντίστοιχο τσουβάλι περιέχει κανονικές λίρες ενώ αν μια θέση καταλαμβάνεται από το ένα τότε το αντίστοιχο τσουβάλι περιέχει κάλπικες λίρες.
Παρατηρώ τέλος ότι αυτή η λύση δεν περιορίζεται από το ότι τα τσουβάλια ήταν τρία μπορεί να εφαρμοσθεί για οποιοδήποτε αριθμό τσουβαλιών, άρα και για τα δέκα του αρχικού μας προβλήματος.

Φτάνουμε έτσι στην τελική διατύπωση της λύσης για το αρχικό μας πρόβλημα: Τοποθετώ τα δέκα τσουβάλια στη σειρά και παίρνω από το πρώτο δεξιά 1 λίρα (=10 στην 0κή), από το δεύτερο από δεξιά προς αριστερά 10 (=10 στην 1η) λίρες κ.λ και τέλος από το δέκατο 1.000.000.000 (=10 στην 9η) λίρες. Όλες μαζί οι λίρες που πήρα είναι 1.111.111.111. Τις βάζω στη ζυγαριά βλέπω το βάρος και το αφαιρώ από τον αριθμό 11.111.111.110 Ο αριθμός που προκύπτει μου προσδιορίζει ανάλογα με τις μονάδες και τα μηδενικά πόσα και ποια τσουβάλια περιέχουν κάλπικες λίρες.

Τελειώσαμε; Σχεδόν. Θυμάστε τι έλεγε το πρόβλημα; Κάθε τσουβάλι περιέχει ΙΚΑΝΟ αριθμό λιρών για να λύσουμε το πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι κάθε τσουβάλι θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον ένα δισεκατομμύριο λίρες. Χμ, θεωρητικά θα μπορούσε να γίνει αλλά και που να βρούμε ζυγαριά που να μπορεί να ζυγίσει έντεκα χιλιάδες εκατόν δώδεκα τόνους; Ο μαθηματικός που μας έθεσε το πρόβλημα δεν μπορεί να μην έλαβε υπόψη του το πρακτικά ανέφικτο της λύσης. Άρα μήπως κάτι δεν επιλέξαμε σωστά;
Το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι το μόνο που ξέρουμε (και έχει βάση το 10); Όχι. Υπάρχουν κι άλλα. Ποιο έχει την μικρότερη βάση; Μα το δυαδικό σύστημα αρίθμησης που έχει βάση το 2!
Μήπως μπορούμε να εφαρμόσουμε ότι σκεφτήκαμε παραπάνω αλλά στο δυαδικό σύστημα. Ε, βέβαια. Τίποτα δεν μας εμποδίζει. Τι κάνουμε λοιπόν;
Παίρνουμε από το πρώτο τσουβάλι 1 λίρα (=2 στην 0νική) από το δεύτερο 2 λίρες (=2στην1η) από το τρίτο 4 λίρες (=2 στο 2γωνο) από το τέταρτο 8 λίρες (=2στην 3η) κλπ και τέλος από το δέκατο 512 λίρες (=2στην 9η). Το σύνολο τους είναι: 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1.023 λίρες. Πολύ λιγότερες από πριν! Και θα ζυγίζουν το πολύ 10.230 gr ή 10 κιλά και κάτι. Σίγουρα μπορούμε να βρούμε μια ζυγαριά που να ζυγίζει τέτοια βάρη. Επίσης κάθε τσουβάλι θα πρέπει να έχει 512 λίρες (ή και παραπάνω) που είναι ένα λογικό νούμερο, έτσι δεν είναι; Αφού όπως λέει κι ένας συνάδελφος στη δουλειά: -Δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα, αφού οικονομικά στεκόμεθα!

Υ.Γ.1 Προσπάθησα να περιγράψω όσο το δυνατόν πιο πιστά την «χαώδη» αναλυτική διαδικασία που χρησιμοποιεί το μυαλό για να λύσει ένα πρόβλημα λογικής. Είναι προφανές ότι η «ενδεδειγμένη» λύση θα ήταν του τύπου:
Λοιπόν παίρνω 1 λίρα από το πρώτο, 2 από το δεύτερο κλ. Και σε δέκα γραμμές να εκτεθεί η λύση. Κι εσύ όταν την διαβάζεις να σκέφτεσαι:
-Μα πως διάολο του κατέβηκε αυτή η λύση. Είχε την επιφοίτηση του αγίου πνεύματος;

Υ.Γ.2 Για δική σας ευχαρίστηση, σας δίνω το παρακάτω πρόβλημα λογικής να λύσετε. Αν δυσκολευτείτε μπορώ να γράψω τη λύση αν το ζητήσετε

Σε μια φυλακή είναι φυλακισμένοι Ν μαθηματικοί. Μια μέρα τους φωνάζει ο Αρχιδεσμοφύλακας και τους λέει:
- Θα βάλω στο κεφάλι του καθένα από σας ένα σκούφο άσπρο ή μαύρο, που όμως δεν θα μπορείτε να δείτε τι χρώμα είναι. Μετά θα ανοίξω την πόρτα και ένας – ένας θα κατευθυνθείτε στην αυλή. Ο καθένας που θα βγαίνει θα βλέπει τι χρώμα καπέλο φορούν όσοι βρίσκονται ήδη στην αυλή –δεν θα μπορεί όμως να δει το δικό του-. Δεν μπορείτε να μιλήσετε μεταξύ σας ούτε να κάνετε νοήματα ή οτιδήποτε άλλο που να φανερώνει σε κάποιον άλλο το χρώμα του καπέλου του.
Αν όταν θα έχει βγει και ο τελευταίος στην αυλή έχετε κατορθώσει όσοι από σας φορούν άσπρα καπέλα να είναι ξεχωριστά από αυτούς που φορούν μαύρα καπέλα –να μην βρίσκεται δηλαδή κάποιος με άσπρο καπέλο ανάμεσα σε αυτούς που φορούν μαύρα καπέλα και το αντίθετο- τότε θα σας δοθεί άδεια μιας εβδομάδας. Αν όμως πιάσω κάποιον από σας να κλέβει θα περάσετε όλοι από μία εβδομάδα στην απομόνωση.
Είναι προφανές ότι οι μαθηματικοί τα κατάφεραν. Πώς;